ΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ-ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΜΕΓΕΘΩΝ-ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΝΟΜΟΣ-ΟΜΑΛΗ ΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

ΦΥΣΙΚΟΣ ΠΑΠΑΔΗΜΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ

ΓΙΑ ΝΑ ΚΑΤΑΛΑΒΕΤΕ ΤΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΚΟΛΟΥΘΟΥΝ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΘΥΜΗΘΕΙΤΕ ΤΙΣ  ΤΑΧΥΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

ΣΥΝΤΟΜΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ

Υπάρχουν δύο βασικά μεγέθη που αλλάζουν με τον χρόνο καθώς ένα στερεό σώμα στρέφεται και αυτά φαίνονται στον πίνακα που ακολουθεί

Γωνία θ που διαγράφουν τα σημεία του στερεού

Μήκος τόξου s που διαγράφουν τα σημεία του στερεού

Όλα τα σημεία ενός στερεού σώματος στην διάρκεια της στροφικής τους κίνησης διαγράφουν την ίδια γωνία θ

Kάθε σημείο ενός στερεού σώματος στην διάρκεια της στροφικής του κίνησης διαγράφει το δικό του μήκος τόξου 

 

Η σχέση που συνδέει την γωνία που έχει διαγράψει το στερεό και την απόσταση του σημείου από τον άξονα περιστροφής είναι  S=θ.r

Για τα σημεία Α και Β του τροχού του  παρακάτω σχήματος θα ισχύει SΑ=θ.rΑ και  SB=θ.rB

 

 

 

 

ΠΑΤΗΣΤΕ ΠΑΝΩ ΣΤΗΝ ΕΙΚΟΝΑ ΓΙΑ ΝΑ ΔΕΙΤΕ ΕΝΑ VIDEO

 

 

 

 

 

 

Θα μετρήσουμε τώρα πόσο γρήγορα αλλάζουν αυτά τα δύο μεγέθη καθώς περνάει ο χρόνος .Θα ορίσουμε λοιπόν δύο ταχύτητες την γωνιακή ταχύτητα ω που θα μετράει πόσο γρήγορα αλλάζει η γωνία (θ) που διαγράφουν τα σημεία και την γραμμική ταχύτητα uγραμμική που θα μετράει πόσο γρήγορα διαγράφουν τα σημεία το μήκος του τόξου τους (s)

Εμφανίζονται λοιπόν δύο ταχύτητες

Α) Γωνιακή ταχύτητα ω

Ορισμός ω=dθ/dt

Β)Γραμμική ταχύτητα 

Ορισμός uγραμ=ds/dt

Η γωνιακή ταχύτητα είναι ίδια για όλα τα σημεία του στερεού σώματος. Περιγράφει το στερεό σώμα σαν σύνολο . Δηλαδή δεν έχει νόημα να πείτε ότι η γωνιακή ταχύτητα του σημείου Α στο παρακάτω σχήμα είναι πχ ωΑ=10 rad/sec και του σημείου Β  ωΒ=10rad/sec, σωστό είναι να πείτε ότι η γωνιακή ταχύτητα του στερεού είναι ω=10rad/sec. Η κατεύθυνσή της γωνιακής ταχύτητας ω είναι κάθετη στο επίπεδο περιστροφής και βρίσκεται με τον κανόνα του δεξιού χεριού .

Η γραμμική ταχύτητα εξαρτάται από την απόσταση r των σημείων του στερεού από τον άξονα περιστροφής. Kάθε σημείο λοιπόν του στερεού έχει την δική του γραμμική ταχύτητα (αυτό μην το ξεχάσετε).

Η διεύθυνση της γραμμικής ταχύτητας  είναι εφαπτόμενη στην κυκλική τροχιά που διαγράφουν τα σημεία καθώς το στερεό στρέφεται και η φορά της δείχνει  προς την μεριά περιστροφής του στερεού

Η σχέση που συνδέει την γραμμική ταχύτητα και την γωνιακή ταχύτητα είναι uγραμμική=ω.r.

Για τα σημεία Α και Β του παρακάτω σχήματος  θα έχουμε λοιπόν uγραμμική(Α) = ω.rA  και uγραμμική(Β) = ω.rΒ

 

 

 

  

 

 

ΠΑΤΗΣΤΕ ΠΑΝΩ ΣΤΗΝ ΕΙΚΟΝΑ ΓΙΑ ΝΑ ΔΕΙΤΕ ΕΝΑ VIDEO

 

 

 

 

 

 

Κάθε ταχύτητα από τις παραπάνω που ορίσαμε είναι διάνυσμα άρα έχει μέτρο και κατεύθυνση .Τα διανύσματα αυτά καθώς περνάει ό χρόνος μπορεί να μεταβάλλονται τόσο σαν μέτρο όσο και σαν κατεύθυνση άρα θα εμφανίζονται επιταχύνσεις που θα επηρεάζουν τις ταχύτητες που ορίσαμε παραπάνω

 

Α) Γωνιακή επιτάχυνση  αγωνιακή

Ορισμός αγων=dω/dt

Μετράει πόσο γρήγορα  αλλάζει το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας ω.

Β) Επιτρόχιος επιτάχυνση  αεπιτρόχιος

Ορισμός αεπιτρόχιος=duγραμ / dt

Μετράει πόσο γρήγορα  αλλάζει το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας uγραμ .

Γ) Κεντρομόλος επιτάχυνση ακ

 

Μετράει πόσο γρήγορα  αλλάζει η κατεύθυνση  της γραμμικής ταχύτητας uγραμ

Η γωνιακή επιτάχυνση αγων είναι ίδια για όλα τα σημεία του στερεού σώματος. Δηλαδή δεν έχει νόημα να πείτε ότι η γωνιακή επιτάχυνση  του Α είναι πχ αγων(Α)=10 rad/sec2 και του Β  αγων(Β)=10rad/sec2 σωστό είναι να πείτε ότι η γωνιακή επιτάχυνση  του στερεού είναι αγων=10rad/sec2.

Η  α γωνιακή είναι αυτή που επηρεάζει το μέτρο της  γωνιακής ταχύτητας ω και μπορεί να την αυξήσει ή να την μειώσει. Εάν η ω αυξάνεται τότε η αγων έχει την ίδια φορά με την ω ενώ εάν η ω μειώνεται η αγων έχει αντίθετη φορά.

 

Εξαρτάται από την απόσταση των

σημείων του στερεού από τον άξονα

περιστροφής. Kάθε σημείο λοιπόν του

στερεού έχει την δική του επιτρόχιο

επιτάχυνση. Η  α επιτρόχιος είναι αυτή που επηρεάζει το μέτρο της  γραμμικής ταχύτητας (uγραμμικής) των σημείων και μπορεί να την αυξήσει ή να την μειώσει. Εάν η uγραμμική αυξάνεται τότε η α επιτρόχιος  έχει την ίδια φορά με την uγραμμική ενώ εάν η uγραμμική μειώνεται η 

α επιτρόχιος έχει αντίθετη φορά.

 

Η κεντρομόλος επιτάχυνση αλλάζει την κατεύθυνση της γραμμικής ταχύτητας χωρίς να επηρεάζει το μέτρο της .Δείχνει προς το κέντρο της κυκλικής τροχιάς και αποδεικνύεται ότι δίνεται από την παρακάτω σχέση .

ακ=uγραμ2 /r  ή  ακ2.r 

 

Η σχέση που συνδέει την επιτρόχιο  και την γωνιακή  επιτάχυνση είναι α επιτρόχιος γων.r.

Για τα σημεία Α και Β του παρακάτω σχήματος  θα έχουμε λοιπόν α επιτρόχιος (Α)γων.rA  και

 α επιτρόχιος(Β)γων.rΒ

 

ΠΑΤΗΣΤΕ ΠΑΝΩ ΣΤΗΝ ΕΙΚΟΝΑ ΓΙΑ ΝΑ ΔΕΙΤΕ ΜΙΑ ΣΤΡΟΦΙΚΗ ΟΜΑΛΑ ΕΠΙΒΡΑΔΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ

Παρατηρείστε ότι

Η γωνιακή ταχύτητα ω και η γωνιακή επιτάχυνση αγωνιακή έχουν αντίθετη φορά.

Η γραμμική ταχύτητα Uγραμμική και η επιτρόχιος επιτάχυνση αεπιτρόχιος έχουν αντίθετη φορά.

Η κεντρομόλος επιτάχυνση δείχνει προς το κέντρο της κυκλικής τροχιάς που ακολουθούν τα σημεία.

 

 

 

 

 

 

 

ΠΑΤΗΣΤΕ ΠΑΝΩ ΣΤΗΝ ΕΙΚΟΝΑ ΓΙΑ ΝΑ ΔΕΙΤΕ ΜΙΑ ΣΤΡΟΦΙΚΗ ΟΜΑΛΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ

Παρατηρείστε ότι

Η γωνιακή ταχύτητα ω και η γωνιακή επιτάχυνση αγωνιακή έχουν ίδια  φορά

Η γραμμική ταχύτητα Uγραμμική και η επιτρόχιος επιτάχυνση αεπιτρόχιος έχουν ίδια φορά

Η κεντρομόλος επιτάχυνση δείχνει προς το κέντρο της κυκλικής τροχιάς που ακολουθούν τα σημεία.

 

Σκοπός μας σχεδόν σε όλες τις ασκήσεις είναι να βρίσκουμε τα μεγέθη θ, ω , αγων  γιατί μετά μπορούμε εύκολα να βρούμε τα μεγέθη

S , uγραμμική , αεπιτρόχιος  πολλαπλασιάζοντας απλώς με την απόσταση του σημείου που μας ενδιαφέρει από τον άξονα περιστροφής .

Kάποιες  από τις κινήσεις που μπορεί να κάνει το στερεό μαζί με τις εξισώσεις που τις περιγράφουν  αναφέρονται στον πίνακα που ακολουθεί.

Oμαλή στροφική    ω = σταθερό

Στροφική ομαλά επιταχυνόμενη.

 

Στροφική ομαλά επιβραδυνόμενη.

 

θ = ω.t

ω=ωο + αγων.t

ω=ωο - αγων.t

 

θ=ωο.t + ½.αγων.t2

θ=ωο.t - ½.αγων.t2

Ένα ερώτημα που θα σας έχει δημιουργηθεί είναι πως χρησιμοποιούνται οι παραπάνω σχέσεις και σε ποιες ασκήσεις

Σε κάποια παραδείγματα που θα δείτε πιο κάτω θα έχουμε τροχαλίες που θα έχουμε τυλίξει στην περιφέρειά τους νήμα ,θα τραβάμε το νήμα (το οποίο θα παραμένει μη εκτατό και δεν θα ολισθαίνει στην περιφέρεια της τροχαλίας)το οποίο θα ξετυλίγετε και η τροχαλία θα κάνει στροφική κίνηση ,θα πρέπει λοιπόν να γνωρίζετε κάποια πράγματα.

1ο ΠΟΥ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΓΝΩΡΙΖΕΤΕ

ΠΑΤΗΣΤΕ ΣΤΗΝ ΕΙΚΟΝΑ ΓΙΑ ΝΑ ΔΕΙΤΕ ΕΝΑ VIDEO

Στο διπλανό σχήμα έχουμε τυλίξει γύρω από την τροχαλία πολλές φορές νήμα και τραβάμε το ελεύθερο άκρο Β του νήματος το οποίο κάνει την μπλέ διαδρομή του σχήματος, μήκους ΧΒ. Ταυτόχρονα το σημείο Α της τροχαλίας στρίβει και διαγράφει ένα μήκος τόξου SA=Θ.rA .Εάν το νήμα είναι μη εκτατό και δεν  ολισθαίνει στην περιφέρεια της τροχαλίας τότε θα ισχύει ΧΒ=SA  δηλαδή ΧΒ=Θ.rA

2Ο ΠΟΥ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΓΝΩΡΙΖΕΤΕ

ΠΑΤΗΣΤΕ ΣΤΗΝ ΕΙΚΟΝΑ ΓΙΑ ΝΑ ΔΕΙΤΕ ΕΝΑ VIDEO

 

Στο διπλανό σχήμα έχουμε τυλίξει γύρω από την τροχαλία νήμα και στο ελεύθερο άκρο του έχουμε κρεμάσει ένα σώμα .Αφήνουμε το σώμα ελεύθερο τότε παρατηρούμε ότι το σώμα κατέρχεται με ταχύτητα U  και η τροχαλία στρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω Πρέπει να γνωρίζετε ότι το άκρο του νήματος που είναι δεμένο στο σώμα και το άκρο του νήματος που βρίσκεται σε επαφή με την τροχαλία έχουν ανά πάσα στιγμή την ίδια ταχύτητα.

Το άκρο του νήματος που είναι σε επαφή με την τροχαλία έχει την ίδια ταχύτητα με το σημείο Β της τροχαλίας την οποία εάν θυμόσαστε την λέμε Uγραμμική(Β).  Έτσι για το στιγμιότυπο του αριστερού σχήματος θα ισχύει U=Uγραμμική(Β).Κάποια στιγμή αργότερα το σημείο Β θα στρίψει και στην θέση του θα έρθει το Γ εκείνη την στιγμή θα ισχύει U=Uγραμμική(Γ) .Η διαδικασία αυτή θα συνεχιστεί για όλα τα σημεία της περιφέρειας άρα μπορούμε να γράψουμε U=Uγραμ(Β)=Uγραμ(Γ)=……..=ω.R  αφού όλα τα σημεία βρίσκονται σε απόσταση R από τον άξονα περιστροφής και όλα έχουν την ίδια ω άρα και την ίδια Uγραμμική.

3Ο ΠΟΥ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΓΝΩΡΙΖΕΤΕ

ΠΑΤΗΣΤΕ ΣΤΗΝ ΕΙΚΟΝΑ ΓΙΑ ΝΑ ΔΕΙΤΕ ΕΝΑ VIDEO

 

Εάν παρατηρήσατε το παραπάνω video θα βλέπατε ότι η κίνηση που κάνει το σώμα που είναι κρεμασμένο στο νήμα και η τροχαλία είναι επιταχυνόμενη ,άρα θα υπάρχουν οι εξής επιταχύνσεις .

Α)Η επιτάχυνση α με την οποία αλλάζει το μέτρο της ταχύτητας u με την οποία κινείται το κρεμασμένο σώμα.

Β)Η επιτρόχιος επιτάχυνση  αεπιτρόχιος με την οποία αλλάζει το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας uγραμμική των σημείων της περιφέρειας της τροχαλίας  (και η κεντρομόλος επιτάχυνση ακ με την οποία αλλάζει η διεύθυνσή της γραμμικής ταχύτητας uγραμμική την οποία όμως δεν έχουμε σχηματίσει στο αριστερό σχήμα)

Γ)Η γωνιακή επιτάχυνση αγωνιακή με την οποία αλλάζει το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας ω της τροχαλίας.

 

Πρέπει να γνωρίζετε ότι το άκρο του νήματος που είναι δεμένο στο σώμα και το άκρο του νήματος που βρίσκεται σε επαφή με την τροχαλία έχουν ανά πάσα στιγμή την ίδια επιτάχυνση.

Το άκρο του νήματος που είναι σε επαφή με την τροχαλία έχει την ίδια επιτάχυνση  με το σημείο Β της τροχαλίας την οποία εάν θυμόσαστε την λέμε αεπιτρόχιος(Β). Έτσι για το στιγμιότυπο του αριστερού σχήματος θα ισχύει α=αεπιτρόχιος(Β).Κάποια στιγμή αργότερα το σημείο Β θα στρίψει και στην θέση του θα έρθει το Γ εκείνη την στιγμή θα ισχύει α=αεπιτρόχιος(Γ) .Η διαδικασία αυτή θα συνεχιστεί για όλα τα σημεία της περιφέρειας άρα μπορούμε να γράψουμε  α=αε(Β)=αε(Γ)=……..=αγων.R  αφού όλα τα σημεία βρίσκονται σε απόσταση R από τον άξονα περιστροφής και όλα έχουν την ίδια αγων  άρα και την ίδια αε.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Αυτό που θα μας απασχολήσει στην συνέχεια είναι η εξής ερώτηση . Ποιά είναι η αιτία που τα σώματα επιταχύνονται (επιβραδύνονται) στροφικά και από ποια φυσικά χαρακτηριστικά εξαρτάται η γωνιακή επιτάχυνση (επιβράδυνση) αγων.

H απάντηση στην πρώτη ερώτηση είναι ότι η ροπή μίας η περισσοτέρων δυνάμεων  (Σ)  είναι η αιτία της γωνιακής επιτάχυνσης α γωνιακής  .Στο δεύτερο ερώτημα όμως θα χρειαστεί να κάνουμε ένα πείραμα για να καταλάβουμε από ποια άλλα  φυσικά μεγέθη εξαρτάται η ροπή .

ΠΕΙΡΑΜΑ

ΠΑΤΗΣΤΕ ΣΤΗΝ ΕΙΚΟΝΑ ΓΙΑ ΝΑ ΔΕΙΤΕ ΕΝΑ VIDEO

 

Στο διπλανό σχήμα φαίνεται ένας κύλινδρος και ένας δακτύλιος ίδιας μάζας Μ και ίδιας ακτίνας R.Στην περιφέρειά τους ασκούμαι την ίδια εφαπτόμενη  δύναμη F. Παρατηρούμε τότε ότι ενώ ασκούμε την ίδια ροπή F.R  και ενώ τα σώματα έχουν την ίδια μάζα και την ίδια ακτίνα o κύλινδρος αυξάνει πιο γρήγορα την γωνιακή του ταχύτητα ω άρα η γωνιακή του επιτάχυνση  αγων(πράσινο διάνυσμα στο διπλανό  σχήμα ) είναι μεγαλύτερη  από αυτό του δακτυλίου. Η μόνη διαφορά των δύο σωμάτων είναι  το σχήμα τους ή ακόμη καλύτερα η κατανομή της μάζας τους γύρω από τον άξονα περιστροφής .Γνωρίζουμε όμως ότι η ροπή αδράνειας έχει άμεση  σχέση με την κατανομή της μάζας άρα η ροπή αδράνειας πρέπει να επηρεάζει και αυτή μαζί με την συνισταμένη ροπή Στ  την γωνιακή επιτάχυνση

α γωνιακή.Αν θυμηθούμε ότι Ιcm(δακτυλίου)>Ιcm(κυλίνδρου) καταλαβαίνουμε ότι όποιο σώμα έχει μεγαλύτερη ροπή αδράνειας Ι αποκτά τελικά μικρότερη γωνιακή επιτάχυνση α γωνιακή

Αν συνοψίσουμε τα παραπάνω τότε μπορούμε να πούμε τα εξής.

Οι ροπές των δυνάμεων που ασκούνται σε ένα στερεό σώμα έχουν σαν αποτέλεσμα την γωνιακή επιτάχυνση ή επιβράδυνση του στερεού σώματος.

Η γωνιακή επιτάχυνση που θα αποκτήσει το στερεό σώμα είναι ανάλογη της συνισταμένης ροπής που του ασκείται και αντιστρόφως ανάλογη της ροπής αδράνειάς του. Τα παραπάνω λόγια εκφράζονται από την σχέση α γωνιακή = ή ισοδύναμα    που αποτελεί τον θεμελιώδη νόμο στην στροφική κίνηση.

Η διαδικασία γενικά της γωνιακής επιτάχυνσης η επιβράδυνσης ενός στερεού σώματος έχει ως εξής :

Eμφάνιση ροπών δυνάμεων Στ è Εμφάνιση γωνιακής επιτάχυνσης (ή επιβράδυνσης) α γωνιακής    è Αύξηση (ή μείωση) της γωνιακής ταχύτητας ω

Ισχύει βέβαια και το αντίστροφο

Αύξηση (ή μείωση) της γωνιακής ταχύτητας è Εμφάνιση γωνιακής  επιτάχυνσης(επιβράδυνσης) α γωνιακής   è Eμφάνιση ροπών δυνάμεων Στ

ΒΑΣΙΚΗ ΣΗΜΕΙΩΣΗ

Θετικές από εδώ και πέρα θα θεωρούμε τις ροπές των δυνάμεων που έχουν την ίδια φορά με την  γωνιακή επιτάχυνση α γωνιακή.

Καλό θα είναι λοιπόν από εδώ και πέρα όταν λύνουμε ασκήσεις να καταλαβαίνουμε εάν η κίνηση είναι επιταχυνόμενη ή επιβραδυνόμενη και να σχηματίζουμε στην συνέχεια  την α γωνιακή  έτσι ώστε να ξέρουμε ποια φορά θα θεωρούμε θετική για τις ροπές.

 

ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΟΥ ΣΥΝΔΥΑΖΟΥΝ ΟΛΑ ΤΑ ΠΑΡΑΠΑΝΩ

 

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1

Στην τροχαλία μάζας M=1Kg και ακτίνας R=0,1m του σχήματος έχουμε τυλίξει γύρω της σκοινί στου οποίου το ελεύθερο άκρο ασκούμε δύναμη F=0,5N .Να βρεθεί η γωνία θ που θα διαγράψει ο τροχός όταν η γωνιακή ταχύτητα που θα αποκτήσει γίνει ω=10rad/sec.    Δίνεται Icm=1/2.M.R2 , g=10m/s2

Text Box: φ

ΠΑΤΗΣΤΕ ΠΑΝΩ ΣΤΗΝ ΕΙΚΟΝΑ ΝΑ ΔΕΙΤΕ ΕΝΑ VIDEO

Πρώτα να εξηγήσουμε κάτι για τα αβαρή σκοινιά. Παρακάτω φαίνεται να έχει ξετυλιχτεί ένα τυχαίο μήκος του σκοινιού και δείχνονται στο σχήμα οι δυνάμεις που δέχεται αυτό το κομμάτι του σκοινιού. Το σκοινί και την τροχαλία τα δείχνουμε χωριστά έτσι ώστε να καταλάβουμε ποιες δυνάμεις δέχεται το κάθε σώμα.

 

 

Η δύναμη F είναι η δύναμη που βάζουμε εμείς στο δεξί άκρο του σκοινιού ενώ η Τ είναι η δύναμη που ασκεί η τροχαλία στο σκοινί. Λόγω δράσης –αντίδρασης όμως και το σκοινί ασκεί στην τροχαλία ίση και αντίθετη δύναμη T όπως στο σχήμα που ακολουθεί και αυτή θέλουμε να υπολογίσουμε. 

 

Εφαρμόζοντας τον 2 νόμο του Newton για αυτό το μήκος του σκοινιού θα έχουμε ΣF=mσκοινιού® F-T=mσκοινιού  όμως mσκοινιού =0 άρα F=T  .Aρα και η τροχαλία δέχεται τάση νήματος Τ ίση με με την δύναμη F που βάλαμε .Δηλαδή με λίγα λόγια τo αβαρές σκοινί μεταφέρει την δύναμη F που βάλαμε, στην τροχαλία.

Θα μπορούσατε βέβαια και να δείτε τα παραπάνω σώματα σαν σύστημα τροχός + σκοινί και να πείτε ότι στο σύστημα η μόνη δύναμη που δημιουργεί ροπή είναι η F (αφού στο σύστημα οι δύο Τ εξουδετερώνονται σαν δράση αντίδραση ενώ το σκοινί δεν επηρεάζει το πρόβλημα αφού η μάζα του είναι μηδέν)

Είτε με τον ένα είτε με τον άλλο τρόπο  τελικά η δύναμη που δημιουργεί ροπή είναι η F άρα από τον θεμελιώδη νόμο στην στροφική κίνηση έχουμε

Στ(cm)=I(cm)γων ® F.R=1/2.MR2γων ®® αγων=10rad/s2  .Aπό τις εξισώσεις ω=αγων.t  και θ=1/2.αγων.t2   λύνοντας την πρώτη ως προς  τον χρόνο και αντικαθιστώντας στην δεύτερη έχουμε ® θ=5 rad

  Μήπως ο τροχός δέχεται και άλλες δυνάμεις ;

                                                                                                                      Kαι βέβαια δέχεται !

Δέχεται  το βάρος και μία δύναμη από τον άξονα, το θέμα είναι πως θα βρούμε την δύναμη από τον άξονα. Θεωρούμε ότι η δύναμη από τον άξονα έχει δύο συνιστώσες την Fάξονα(χ) και την Fάξονα(ψ) τις οποίες δεν ξέρουμε την φορά τους και τις σχηματίζουμε όπως θέλουμε (αργότερα θα φανεί ότι εάν σκεφτούμε λίγο μπορούμε σε εύκολες περιπτώσεις να ξέρουμε εκ των προτέρων την φορά τους)

Aς τις σχηματίσουμε όπως στο διπλανό σχήμα.

 

Τώρα σκεφτείτε ότι ο τροχός δεν μεταφέρεται άρα θα πρέπει

ΣFX=0 ® F-Fάξονα(χ) =0 άρα Fάξονα(χ)=F=0,5N    και   

ΣFΨ=0®Fάξ(Ψ)-W=0 άρα Fαξ(ψ)=w=10N

Βρήκαμε τις δύο συνιστώσες θετικές ,αυτό σημαίνει ότι τις σχηματίσαμε σωστά.

 

Τώρα εάν συνθέσουμε τις δύο συνιστώσες με τον κανόνα του παραλληλογράμμου και εφαρμόσουμε το πυθαγόρειο θεώρημα βρίσκουμε το μέτρο της Fάξονα

Άρα η Fαξ==10,01 N

Επίσης πρέπει να βρούμε και την διεύθυνσή της δηλαδή την κλίση της και για αυτό θα χρησιμοποιήσουμε την εφαπτομένη της γωνίας φ που σχηματίζει η Fάξονα με τον άξονα χ΄χ

Είναι  εφφ= = 20

 

 

             Να βρεθεί η απόσταση που μετακινείται το σημείο B ,η ταxύτητά του και η επιταχυνσή του.

Απόσταση που διανύει το σημείο B      (ΘΥΜΗΘΕΙΤΕ ΤΟ 1ο  ΠΟΥ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΓΝΩΡΙΖΕΤΕ)

 

 

 

Το σημείο Β θα μετακινηθεί όσο είναι το μήκος τόξου που έστριψε το σημείο Α (δες το σχήμα αριστερά). Άρα  xΒ=sA ®xΒ=θ.R ®xΒ=0,4m

Ταχύτητα με την οποία μετακινείται το σημείο B του σχοινιού    (ΘΥΜΗΘΕΙΤΕ ΤΟ 2ο ΠΟΥ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΓΝΩΡΙΖΕΤΕ)

 

Το άκρο του νήματος Β και το άκρο του νήματος που βρίσκεται σε επαφή με την τροχαλία έχουν ανά πάσα στιγμή την ίδια ταχύτητα. Έτσι για το στιγμιότυπο του αριστερού σχήματος θα ισχύει UΒ=Uγραμμική(Γ).Κάποια στιγμή αργότερα το σημείο Γ θα στρίψει και στην θέση του θα έρθει το Δ εκείνη την στιγμή θα ισχύει UΒ=Uγραμμική(Δ) .Η διαδικασία αυτή θα συνεχιστεί για όλα τα σημεία της περιφέρειας άρα μπορούμε να γράψουμε UΒ=Uγραμ(Γ)=Uγραμ(Δ)=……..=ω.R ® UΒ =ω.R =1m/s αφού όλα τα σημεία βρίσκονται σε απόσταση R από τον άξονα περιστροφής και όλα έχουν την ίδια ω άρα και την ίδια Uγραμμική

 

Επιτάχυνση με την οποία μετακινείται το σημείο Γ     (ΘΥΜΗΘΕΙΤΕ ΤΟ 3Ο ΠΟΥ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΓΝΩΡΙΖΕΤΕ)

 

Με την ίδια λογική όπως προηγουμένως το άκρο του νήματος Β και το άκρο του νήματος που βρίσκεται σε επαφή με την τροχαλία έχουν ανά πάσα στιγμή την ίδια επιτάχυνση. Έτσι για το στιγμιότυπο του αριστερού σχήματος θα ισχύει αΒεπιτρόχιος (Γ).Κάποια στιγμή αργότερα το σημείο Γ θα στρίψει και στην θέση του θα έρθει το Δ εκείνη την στιγμή θα ισχύει αΒεπιτρόχιος(Δ) .Η διαδικασία αυτή θα συνεχιστεί για όλα τα σημεία της περιφέρειας άρα μπορούμε να γράψουμε αΒεπιτρόχιος(Γ)=αεπιτρόχιος(Δ)=……..=αγων.R®αΒγων.R =1m/s2   αφού όλα τα σημεία βρίσκονται σε απόσταση R από τον άξονα περιστροφής και όλα έχουν την ίδια αγωνιακή.

 

       ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2

Στην εξωτερική περιφέρεια  τροχαλίας μάζας Μ=1Κg και ακτίνας R=1m έχουμε τυλίξει πολλές φορές αβαρές μη εκτατό νήμα και στο άκρο του Α ασκούμε σταθερή δύναμη F=10N ώστε να ξετυλίγουμε το σκοινί .Στο εσωτερικό της τροχαλίας σε απόσταση R/2 από το σημείο που περνάει ο άξονας περιστροφής (δηλαδή από το cm ) με κατάλληλο τρόπο  έχουμε τυλίξει σε περιφέρεια κύκλου   αβαρές μη εκτατό σκοινί και το έχουμε συνδέσει με σώμα μάζας m=1kg που βρίσκεται πάνω σε μη λείο οριζόντιο δάπεδο. Η ροπή αδράνειας της τροχαλίας είναι Ιcm=1/2M.R2

Α) Παρατηρούμε ότι σε χρόνο t=2sec η τροχαλία έχει διαγράψει γωνία θ=20 rad. Nα βρεθεί η τάση του νήματος (Τ΄)  που  δέχεται η τροχαλία από το σκοινί που είναι δεμένο σε απόσταση R/2 καθώς και η δύναμη που δέχεται η τροχαλία από τον άξονα.

 

 

 

 

 

 

 

ΠΑΤΗΣΤΕ ΠΑΝΩ ΣΤΗΝ ΕΙΚΟΝΑ ΓΙΑ ΝΑ ΔΕΙΤΕ ΕΝΑ VIDEO

AΣ ΤΗΝ ΛΥΣΟΥΜΕ

Α) Σχηματίζουμε τις δυνάμεις στην τροχαλία και στο σώμα μάζας m

Η τροχαλία δέχεται την την τάση του νήματος Τ πού όπως είπαμε στο προηγούμενο παράδειγμα είναι ίση με την F,το βάρος Wτροχαλίας, την τάση από το άλλο νήμα Τ' και μία δύναμη από τον άξονα Fάξονα που την σχηματίζουμε διαγώνια (εάν και δεν ξέρουμε ακόμη πώς είναι )με σκοπό να την αναλύσουμε σε δυο συνιστώσες Fάξονα(χ) και Fάξονα(ψ) και να βρούμε αυτές τις δύο συνιστώσες για να δούμε τελικά πως είναι και η Fάξονα.

Το σώμα m δέχεται το βάρος w την κάθετη αντίδραση από το δάπεδο Ν την τριβή ολίσθησης Toλ και την τάση του νήματος Τ΄(Θα δείξουμε αργότερα ότι τα αβαρή και μη εκτατά νήματα βάζουν την ίδια τάση στα άκρα τους και για αυτό τον λόγο την είπαμε και αυτή την τάση Τ΄)

ΠΑΤΗΣΤΕ ΠΑΝΩ ΣΤΗΝ ΕΙΚΟΝΑ ΝΑ ΔΕΙΤΕ ΕΝΑ VIDEO

ΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΤΡΟΧΑΛΙΑΣ

H τροχαλία επιταχύνεται γωνιακά άρα για την τροχαλία θα ισχύει

Στ(cm)=I(cm)γων   ®  F.R Τ΄.=.MR2γων  ®  F -=M.R.αγων   ® 2F-T΄=M.R.αγων (1)

Όμως γνωρίζουμε ότι θ=1/2.αγων.t2 ® αγων=2θ/t2  ® αγων=10 rad/sec2  με αντικατάσταση στην (1) έχουμε Τ΄=10Ν

 

ΜΕΤΑΦΟΡΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΤΡΟΧΑΛΙΑΣ (Η ΤΡΟΧΑΛΙΑ ΔΕΝ ΠΑΕΙ ΠΟΥΘΕΝΑ !!!! ΔΗΛ ΔΕΝ ΜΕΤΑΦΕΡΕΤΑΙ ΑΡΑ )

ΣFX=0 ® Τ΄F - Fάξονα( χ ) =0 ®Fάξονα( χ )= Τ΄-F ® Fάξονα( χ )=0 Ν  Δηλαδή παρόλο ότι υποθέσαμε ότι υπάρχει οριζόντια δύναμη από τον άξονα τελικά αποδείχτηκε ότι δεν υπάρχει.

ΣFψ=0 ® Fάξονα( ψ)w = 0 ®Fάξονα( ψ)= w ® Fάξονα( ψ) = 10 Ν.  Άρα η δύναμη που δέχεται ο άξονας είναι κατακόρυφη με τιμή Fάξονα= Fάξονα( ψ) = 10 Ν  και την σχηματίσαμε σωστά αφού μας βγήκε θετική.

 

Β) Να βρεθεί η επιτάχυνση με την οποία θα κινηθεί το σώμα  μάζας m καθώς και η τριβή ολίσθησης που δέχεται από το οριζόντιο δάπεδο

To σώμα μάζας m  κάνει μεταφορική κίνηση μόνο, έτσι  εάν καταφέρουμε να βρούμε την επιτάχυνση ενός σημείου του έχουμε καταφέρει  να βρούμε και την επιτάχυνση όλων των άλλων δηλαδή την επιτάχυνση όλου του σώματος. Θα βρούμε την επιτάχυνση του σημείου Λ.

Το άκρο του νήματος Λ και το άκρο του νήματος που βρίσκεται σε επαφή με την τροχαλία έχουν ανά πάσα στιγμή την ίδια επιτάχυνση. Έτσι για το στιγμιότυπο του παρακάτω σχήματος θα ισχύει αΛεπιτρόχιος (Α).Κάποια στιγμή αργότερα το σημείο Α θα στρίψει και στην θέση του θα έρθει το Β εκείνη την στιγμή θα ισχύει αΛεπιτρόχιος(Β) .Η διαδικασία αυτή θα συνεχιστεί για όλα τα σημεία της περιφέρειας άρα μπορούμε να γράψουμε αΛεπιτρόχιος(Α)=αεπιτρόχιος(Β)=……..=αγων.R/2  αφού όλα τα σημεία βρίσκονται σε απόσταση R/2 από τον άξονα περιστροφής και όλα έχουν την ίδια αγων . (ΕΙΝΑΙ Η ΤΡΙΤΗ ΦΟΡΑ ΠΟΥ ΛΕΜΕ ΤΟ ΙΔΙΟ ΠΡΑΜΑ ΕΑΝ ΕΧΕΤΕ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙ  !!!!)

ΠΑΤΗΣΤΕ ΠΑΝΩ ΣΤΗΝ ΕΙΚΟΝΑ ΝΑ ΔΕΙΤΕ ΕΝΑ VIDEO

Άρα  αΛ =αγων.R/2=5m/sec2   .Βρήκαμε δηλαδή  την επιτάχυνση του σημείου Λ του σώματος m άρα και την επιτάχυνση α όλου του σώματος.

Το σώμα μάζας m δέχεται τις δυνάμεις που φαίνονται στο ΔΕΥΤΕΡΟ  σχήμα και ισχύει για αυτό  ΣF=m.α ® Τ - Τριβή= m  ® Tριβή=Τm.α (2) ® Tριβή=5N .

 

Γιατί το σκοινί στα άκρα του δέχεται ίσες τάσεις;

Το σκοινί δέχεται από την τροχαλία την τάση Τ΄ και ασκεί στην τροχαλία ίση και αντίθετη δύναμη Τ΄ .Επίσης δέχεται δύναμη Τ1 από το σώμα μάζας m και ασκεί δύναμη Τ1 σε αυτό .Εμάς θα μας απασχολήσουν για λίγο οι δυνάμεις που δέχεται το σχοινί .Για αυτό το κομμάτι του σκοινιού ισχύει  ΣF=mσκοινιού.α ® Τ΄-T1=mσκοινιού.α  όμως mσκοινιού =0 άρα Τ1=T΄ . Δηλαδή η τροχαλία και το σώμα μάζας m δέχονται την ίδια δύναμη και για αυτόν τον λόγο στην άσκηση τις είπαμε και τις δύο Τ.

Αυτό δεν χρειάζεται να το αποδεικνύεται κάθε τόσο απλώς να θυμάστε ότι το σκοινί που ενώνει δύο σώματα βάζει στα σώματα την ίδια τάση.

Eάν το αριστερό άκρο που ασκούμε την δύναμη F  μετακινηθεί κατά d=2m πόσο θα μετακινηθεί το σώμα μάζας m ;

 

 


Εάν το αριστερό άκρο μετακινηθεί κατά d =2m τότε και το σημείο Δ θα στραφεί και  θα διαγράψει   μήκος τόξου sΔ =θ.R αυτές οι δύο αποστάσεις είναι ίσες άρα  d=SΔ® d=θ.R (1) .Με την ίδια λογική η απόσταση x που θα διανύσει το σώμα m είναι ίδια με το μήκος  τόξου που διαγράφει το σημείο Ε δηλαδή το μήκος τόξου  SE=θ.R/2 .Αρα x= θ.R/2 (2) .Διαιρώντας κατά μέλη την (1) και την (2) έχουμε  x=d/2=1m

ΣΥΝΤΟΜΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

 

ΠΩΣ ΣΚΕΦΤΟΜΑΣΤΕ ΣΤΗΝ ΣΤΡΟΦΙΚΗ ΟΜΑΛΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ -ΕΠΙΒΡΑΔΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ

1)    Πάνω στο σώμα που μας ενδιαφέρει σχηματίζουμε τις δυνάμεις που δέχεται

Αυτές συνήθως είναι  Βάρος (w) – Tάση νήματος(Τ)- Τριβή ολίσθησης(Τολίσθησης)- Δυνάμεις επαφής (Ν) –Δύναμη από άξονα(Fάξονα)- Κάποια δύναμη F που βάζουμε εμείς .

2)    Στο σώμα που κάνει στροφική επιταχυνόμενη ή επιβραδυνόμενη κίνηση εφαρμόζουμε τον θεμελιώδη νόμο Στ=Ι.αγων  και τις εξισώσεις για την γωνιακή ταχύτητα ω και  την γωνία θ

3)    Στο σώμα που κάνει στροφική ομαλά επιταχυνόμενη ή επιβραδυνόμενη κίνηση δεν  ξεχνάμε να ασχοληθούμε και με την μεταφορική του κίνηση. Για αυτήν εφαρμόζουμε τις σχέσεις

ΣFX=0

ΣFψ=0

για να βρούμε δυνάμεις από άξονα ή δυνάμεις επαφής

Εάν το σώμα που κάνει στροφική επιταχυνόμενη-επιβραδυνόμενη κίνηση είναι συνδεδεμένο μέσω νήματος με άλλο σώμα που κάνει μόνο μεταφορική κίνηση τότε.

Εκτός από τα προηγούμενα πρέπει

4)    Να σχηματίσουμε τις δυνάμεις που δέχεται αυτό το σώμα

5)    Εάν τα σώματα τα συνδέει νήμα τότε οι τάσεις του νήματος που ασκούνται στα άκρα του είναι ίσες

6)    Το νήμα συνδέει ένα σημείο (πχ Α) του σώματος που κάνει στροφική κίνηση και ένα  σημείο (πχ Β) του σώματος που κάνει μεταφορική κίνηση  τα δύο σημεία τότε κάνουν 

i)             ίσες αποστάσεις   dB=sA

ii)           έχουν ίδια ταχύτητα UB=Uγραμ(Α)

iii)         έχουν ίδια επιτάχυνση  αΒ=αεπιτ(Α)

 

ΛΥΣΤΕ ΜΟΝΟΙ ΣΑΣ (ΕΑΝ ΜΠΟΡΕΙΤΕ !!!)

Στην  διπλή τροχαλία του σχήματος μάζας M=2kgκαι ακτίνας R=1m  έχουμε δέσει μέσω αβαρών και μη εκτατών νημάτων τα σώματα  M2=0,5kg  και M1=1kg  σε απόσταση R/2 και R από το κέντρο της τροχαλίας αντίστοιχα. Αφήνουμε το σύστημα ελεύθερο και παρατηρούμε ότι το σώμα m2 επιταχύνεται προς τα πάνω ενώ το m1 προς τα κάτω. Δίνεται Ιcm=1/2.M.R2 και g=10m/s2.

ΠΑΤΗΣΤΕ ΠΑΝΩ ΣΤΗΝ ΕΙΚΟΝΑ ΝΑ ΔΕΙΤΕ ΕΝΑ VIDEO

α)Να βρεθεί η σχέση μεταξύ των επιταχύνσεων των σωμάτων M1,M2.

β)Nα βρεθούν οι τάσεις των νημάτων.

γ)Να βρεθεί η ταχύτητα του σώματος m2 όταν το σώμα m1 έχει κατέβει κατά d1=1m